Векторы

В 2024 году в программе экзамена по математике профильного уровня всего одно изменение — в первой части добавили задачу № 2 на векторы. Новые задания можно условно разделить на две группы: сложение и координаты вектора.

Вектор, или направленный отрезок, — отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом.

Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например АВ. Первая буква означает начало вектора, вторая — конец. Есть и альтернативный вариант обозначения вектора — одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например a.

Нулевой вектор — любая точка на плоскости. Такой вектор сонаправлен любому вектору.

Длина (модуль) ненулевого вектора АВ — это длина отрезка АВ. Обозначается |АВ|.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Если эти векторы направлены в одну сторону, то их называют сонаправленные, если в разные — противоположно направленные. 

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

От любой точки плоскости можно построить вектор, равный данному, притом только один.

 

Векторы a и b; e, d, f и g коллинеарны, что обозначается как:

• a∥b

• e∥d ∥f∥g

Векторы a и b; e и g; f и d сонаправлены, что обозначается как:

• a⇈b

• e⇈g 

• f⇈d

Противоположно направленные векторы:

• e ↑↓d 

• f ↑↓g

Равные векторы:

• a=b

• e=g

Для того чтобы сложить два вектора, следует от конца первого вектора построить вектор, равный второму вектору; вектор суммы будет направлен от начала первого к концу второго.

Если же два вектора выходят из одной точки, то вектор суммы будет диагональю параллелограмма, построенного на этих двух векторах (следствие правила треугольника).

Вычесть векторы можно при помощи правила суммы, то есть воспользоваться тем, что  для любых векторов a и b  справедливо равенство a-b=a+-b. Вектор (-b) — вектор, противоположно направленный вектору b и равный ему по длине. 

Есть и другой вариант — правило разности: если два вектора выходят из одной точки, вектор их разности имеет начало в конце вектора, который вычитаем, и направлен в конец того вектора, из которого вычитаем (следствие правила треугольника).

Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна k∙a, причём векторы a и b  сонаправлены при k ≥ 0  и противоположно направлены при k< 0.

Практические примеры

Теперь у нас достаточно знаний для решения первой группы заданий. Приступим! 

Пример 1  

 

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: АВ = 15, ВС = 20. Найдём АС по теореме Пифагора:

Длина вектора AС равна диагонали данного параллелограмма.

AС=25

Ответ: 25.

Пример 2

Решение

Векторы BA и BD выходят из одной точки. Значит, их разность находим как вектор, направленный из конца вектора, который вычитаем, к тому, из которого вычитаем.

Ответ: 24.

Пример 3

Решение

Ответ: 17.

Пример 4

Решение

Наша задача сводится к тому, чтобы найти длину отрезка ВС.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, значит, ∠ВОС=90°.

Ромб — это параллелограмм, поэтому не забываем также, что диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть BD = 16, AC = 12.

Рассмотрим треугольник ВОС, прямоугольный.

Найдём ВС по теореме Пифагора:

Ответ: 10.

Пример 5

Решение

 

Ответ: 7.

Пример 6

Решение

Из условия задачи АС = 3, СВ = 4.

Найдём гипотенузу треугольника по теореме Пифагора.

Ответ: 2,4.

Пример 7

Решение

Ответ: 4,5.

Рассмотрим прямоугольную систему координат и выберем на ней два неколлинеарных вектора, длина которых равна единичному отрезку данной системы координат. Такие векторы называют координатными. 

Важно также помнить, что любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициент разложения определяется единственным образом.

Особенности координат

Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектор. Координаты радиус-вектора равны координатам его конца. 

Правила нахождения координат

Для того чтобы найти координаты вектора, не нужно каждый раз строить равный ему вектор из начала координат. Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вычесть координаты начала.

Найти координаты суммы или разности векторов помогут простые правила:

• каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов;

• каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов;

• каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Положительный и отрицательный коэффициенты отношения

Отметим, что координаты коллинеарных векторов пропорциональны, причём если векторы сонаправлены, то коэффициент отношения положительный, а если противоположно направлены, то отрицательный. 

Длина вектора через координаты

Через координаты вектора можно также найти его длину.

Скалярное произведение

Последним важным понятием, которое нам необходимо разобрать, является скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Скалярное произведение можно также записать в координатах, это будет сумма произведений соответствующих координат.

Теперь приравняем скалярное произведение, выраженное через длины векторов и косинус угла между ними, и скалярное произведение, выраженное через координаты векторов: 

Таким образом, мы получили формулу, позволяющую найти угол между двумя векторами, когда известны их координаты. 

Примеры решения новой задачи в ЕГЭ по математике

Теперь решим несколько задач, где применяется теория, которую мы только что рассмотрели.

Пример 1

Решение

Не забываем, что х — это абсцисса, а у — ордината. 

В ответе просят дать только абсциссу, значит, выписываем 2.

Ответ: 2.

Пример 2

Решение

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число. 

В ответе просят записать сумму координат, то есть х + у = 4 + 33 = 37.

Ответ: 37.

Пример 3

Решение

Ответ: 5.

Пример 4

Решение

Ответ: 7,5.

Пример 5

Решение

Ответ: 60.